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转化思想下分数归一问题的解题策略

2022-04-13 17:25:10专业范文 47人已围观


转化思想下分数归一问题的解题策略摘要:归一问题一直属于小学阶段的教学难点,由其发展引申出的和倍问题、差倍问题、 倍比问题等问题形式多样、灵活多变、解法多种,在这个问题上,教师难教,学生难懂。当归一问题与分数、比、倍数等条件复合在一起的时候,其思维难度可见一斑,但往往正是这种题型更能够全面考察学生的数学思维和能力发展程度。本文希望通过深入研究不同版本的教材和教辅资料,在不同教学思路下结合数学思想中的转化思想化繁就简为学生提供新的数学思维模式,从更加简易、具体的角度去思考和解决问题。关键词: 转化思想 分数 归一问题一、关于分数归一问题归一问题的定义:归一问题指复合应用题中的某些问题,解题时需要先根据已知条件,求出一个单位量(标 准量)的数值,然后,再根据题中的条件和问题求出结果。分数型归一问题的一般数学模型设有 A1 + B1 = C1 , A2 + B2 = C2 ( A1 , B1 , A2 , B2 ≥0),有k1  A1 : B1有常量 a,b(a,b≥0)使得:( A1 ±a)∶( B1 ±b)= A2 ∶ B2 = k2(1)已知 k1 , k2 ,a,b,求 A1 , B1 , A2 , B2 。(2)已知 k1 , k2 , C1 或C2 ,求 A1 , B1 , A2 , B2 。3.分数归一问题的特点:分数归一问题一般存在多重数量关系,第一重数量关系主要体现在分数上,当然,分数的形式并不单一,不时也会以倍数或者比的形式出现。归一问题中也必然会出现一个不变量, 多以此不变量作为标准量,通过寻找一组对应量和对应分率求出标准量,此为第二重数量关系。在结合题意前提下,容易形成第三重数量关系。所以,分数型归一问题其形式多样、灵活多变、逻辑关系复杂且思维难度相对较大。4.分数归一问题的难点:在未涉及分数的情况下,归一问题中的数量关系多以和倍、差倍或倍比的形式出现,当中的数量关系多整数倍的倍数出现,相交于分数更加容易理解,只要求出一个单位量就可以较为轻松地解决问题。在涉及分数的情况下,分数本身不单单是数,更是题意中两个量之间数量关系,且这两个量当中可能隐藏标准量或者两个量当中有一个是标准量。一般情况下,题型中都会出现两个分数,基于题目条件中各种量的增减或者转移,由第一个分数转变成第二个分数,即由第一层数量关系转变成第二层数量关系。其数量关系并非固定而是变动的,如此一来,此类问题就有了较强的抽象性。不同条件形式的多样性、多重数量关系的复杂性,数量变动的抽象性构造了分数归一问题的一定思维难度。二、分数归一的问题的一般解法在深入研究多个版本教材和教辅资料后,将分数型归一问题归纳为以下几种主要解法。例 1:河边有一群鸭子,水中的鸭子占岸上的 1/3,如果岸上有 4 只鸭子下水,此时水中与岸上的鸭子相等,原来水中和岸上各有多少只鸭子? 1.解法一:直接列式1+3=4鸭子总数:4÷( 1  1 )或4÷( 3  1 )2442= 4÷ 1= 4÷ 144= 16(只)= 16(只)水中:16× 1 =4(只) 岸上:16× 3 =12(只)或 16-4=12(只)44解题思路及其优劣:直接列式需要充分理解题目条件中分数的双重意义,分数不单单是分率同时也是比的一种形式。1/3 意味着水中 1 份鸭子则岸上有 3 份鸭子,在鸭子下水后,水中有 1 份鸭子则岸上也有 1 份鸭子。由于鸭子的总量不变,此种解法需要紧抓鸭子总量作为标准量。通过水中或者岸上鸭子占总量的分率变化,以:对应量÷对应分率=标准量,进行归一后分别求出水中和岸上鸭子的数量。但是,这种解法对于学生的要求较高,学生需要正确理解分数的双重意义之余,能够准确找出题中的不变量作为解题关键的标准量,且抓准题中的唯一对应量和对应分率,对于逻辑思维和理解能力要求较高,不利于教师讲解和学生接受。解法二:方程法解:设岸上有 x 只鸭子 ,则水中有 1 x 只鸭子。3岸上: x-4= 1 x+432 x=83x=12水中:12× 1 =4(只) 或 16-12=4(只)3解题思路及其优劣:方程法需要学生找出题中的等量关系,例 1 中的等量关系明显,根据题意鸭子下水后:岸上鸭子-4=水中鸭子+4。思路较为清晰,且等量关系具体明确。虽然方程法作为答案出现在教学讲解中确实利于学生理解,但是,一旦题中的等量关系不明显,学生的对于未知数的选取容易出现偏差,且方程法的实操性较高,个别学生即便能够列出方程, 错解或者解不出的情况也是屡见不鲜。解法三:差倍法以岸上鸭子作为标准量岸上:(4×2)÷(1- 1 )3= 8÷ 23= 12(只)水中:12× 1 =4(只) 或 16-12=4(只)3以水中鸭子作为标准量水中:(4×2)÷(3-1)= 8÷2= 4(只)岸上:4×3=12(只) 或 4÷ 1 =12(只)3解题思路及其优劣:例 1 作为归一问题系列的典型差倍问题固然可以使用差倍法。差倍法问题:已知两数之差和两数之间的倍数关系,求出两数。其一般公式为:差÷倍数差=标准 量。差倍法一般选取两数中的小数作为标准量,更加便于运算和理解。当 4 只鸭子下水后两边的鸭子数相等,说明两数之差为 4 的 2 倍。岸上鸭子是水中的 3 倍,则相差 2 倍。这 2 倍为
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